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Análisis Matemático 66
2024
CABANA
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA
6.6.
Usando el método de integración por partes, calcular las siguientes integrales:
c) $\int x^{4} \ln(x) d x$
c) $\int x^{4} \ln(x) d x$
Respuesta
⚠️ Última vez que lo digo jaja para resolver este ejercicio es clave que hayas visto primero la clase de integración por partes!
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La integral que queremos resolver
$\int x^{4} \ln(x) d x$
también es una integral que sale por partes. Recordemos la fórmula:
$ \int f' \cdot g = f \cdot g - \int f \cdot g' $
En este caso vamos a tomar:
$ g = \ln(x) \rightarrow g' = \frac{1}{x} $
$ f' = x^{4} \rightarrow f = \frac{x^5}{5} $
Reemplazamos en la fórmula de partes:
$ \int x^{4} \ln(x) dx = \frac{x^5}{5} \cdot \ln(x) - \int \frac{x^5}{5} \cdot \frac{1}{x} dx $
Simplificamos las $x$ que nos quedaron en la integral:
$ \int x^{4} \ln(x) dx = \frac{x^5}{5} \ln(x) - \frac{1}{5} \int x^{4} dx = \frac{x^5}{5} \ln(x) - \frac{1}{5} \cdot \frac{x^5}{5} = \frac{x^5}{5} \ln(x) - \frac{x^5}{25}$
Listooo, ya estamos, el resultado de la integral entonces es
$\int x^{4} \ln(x) d x = \frac{x^5}{5} \ln(x) - \frac{x^5}{25} + C$